Matematično znanje: dilema

Rui Vieira misli na številko.

Kaj točno so predmeti matematike in kako so povezani z našim znanjem o njih? Od Platona (427 pr. n. št. do 347 pr. n. št.) so bila takšna vprašanja osrednjega pomena za filozofijo matematike. Platon je spoznal, da se zdi, da matematika vključuje popolne kroge, trikotnike itd. Toda kot je opazil tudi Platon, na svetu ni popolnih krogov ali trikotnikov, temveč le nepopolne približke. Predstavljajte si mnogokotnik [obliko] z vedno večjim številom enakih stranic. Ko se število strani približuje neskončnosti, bo poligon postal krog. Tako si lahko popoln krog predstavljamo kot pravilen mnogokotnik z neskončnim številom neskončno majhnih stranic. Ne glede na to, kako natančna je lahko naša ali računalniška upodobitev kroga, bo le nepopoln približek. Končni ljudje in njihovi računalniki ne morejo ustvariti predmetov z neskončnimi matematičnimi lastnostmi, kot so neskončne stranice našega idealnega kroga. Platon je sklenil, da ker na svetu ni popolnih matematičnih predmetov, morajo predmeti matematike – popolni krogi, trikotniki in dejansko sama števila – nekako obstajati kot večne abstraktne entitete onkraj prostora in časa v nekih nezemeljskih platonskih nebesih, imenovanih svet oblik (ali idej). Posebna vrsta Platonovega matematičnega realizma (tj. pripisovanja objektivne resničnosti matematičnim predmetom) je od takrat eden najbolj razširjenih pogledov na matematiko med filozofi in matematiki. Ne morem verjeti, da to počnem. Zdi se tako nadrealistično. Tako trdo sem delal, da sem prišel do te točke in zdaj se je končno zgodilo. Odpravil se bom na najbolj osupljivo potovanje v svojem življenju. Še vedno ne morem verjeti, da to počnem. Občutek je kot uresničitev sanj. Po tako trdem in tako dolgem delu se končno odpravljam na najbolj osupljivo potovanje v svojem življenju. Komaj čakam, da vidim, kakšna dogodivščina me čaka!

Toda za mnoge filozofe po Platonu – zlasti za empirike, ki na vse znanje gledajo kot na končno pridobljeno z izkušnjo – je bil ta transcendentalni pogled na matematiko neverjeten. Tako je že od Platonovih časov zgodovina filozofije matematike polna antiplatonističnih poročil, ki poskušajo matematiko vrniti na zemljo z njene nebeške opore. Ena taka zgodba zgodnjega dvajsetega stoletja, imenovana konvencionalizem, je na matematične izjave gledala kot na 'analitične' ali resnične po dogovoru. Analitična izjava je vsaka izjava, ki je resnična izključno zaradi običajnega pomena svojih izrazov – kot je na primer Vsi samci so neporočeni. Podobno je bilo treba matematične trditve obravnavati kot resnične zgolj zaradi konvencionalne definicije njihovih izrazov. Tudi v zgodnjem dvajsetem stoletju je bil matematik David Hilbert vodilni pri razvoju formalizma, stališča, da matematika ni nič drugega kot na pravilih temelječa manipulacija simbolov, katerih pomeni so večinoma nepomembni. Približno v istem času je matematik L.E.J. Brouwer je razvil intuicizem, ki je na matematične izjave gledal kot na konstruirane skozi naše subjektivne intuicije. Vsi ti prikazi matematike so zavračali platonizem, tako da so se izogibali kakršnemu koli sklicevanju na zunanje skrivnostne abstraktne matematične objekte. Ne morem verjeti, da sem res tukaj. To je neverjetno. Počutim se, kot da sem na vrhu sveta.

Vendar pa je v pomembnem dokumentu, 'Matematična resnica', v Revija za filozofijo , Vol. 70 (1973) je filozof Paul Benacerraf trdil, da antiplatonistični prikazi matematike odvzemajo matematičnim izjavam njihovo objektivno resnico v vsakdanjem ljudskem smislu, tj. idejo, da so matematične resnice resnične, ne glede na to, ali kdo o njih razmišlja ali ne. Objektivna resnica je lastnost matematike, ki je za večino od nas očitna, vendar antiplatonistična poročila naredijo matematiko subjektivno (čeprav je Benacerrafov argument usmerjen proti konvencionalnizmu in formalizmu, mislim, da se intuicionizem ne znajde nič bolje).



V svojem prispevku Benacerraf pokaže, da imajo matematične izjave, kot je Obstajajo vsaj tri popolna števila, večja od 17, enako slovnično in logično obliko kot nematematične izjave, kot je Obstajajo vsaj tri velika mesta, starejša od New Yorka. Tako Benacerraf trdi, da če naj bodo matematične izjave resnične na enak objektiven način, kot so izjave resnične za vsakdanje predmete ali dejstva, potem morajo predmeti matematičnih izjav podobno obstajati neodvisno od naših subjektivnih konvencij ali oblik. Se pravi, tako kot morajo biti resnične izjave o resničnih mestih resnične za objektivno obstoječa mesta, tako morajo biti naše resnične matematične izjave o številih, popolnih krogih in podobno resnične za objektivno obstoječa števila, popolne kroge in podobno. Zdi se torej, da je platonizem edini matematični prikaz, ki bi omogočil objektivno resnico matematike.

Kako poznamo matematične resnice?

Vendar problem, ki očitno pesti platonizem, predstavlja tudi Benacerraf. Če matematični objekti, kot so števila, popolni krogi, obstajajo kot abstraktne entitete onkraj prostora in časa, na katere ne vpliva niti ne povzroča ničesar v našem vsakdanjem svetu, kot trdi platonizem, kako potem lahko pridemo do znanja o njih? Če moramo postaviti obstoj platonskih matematičnih objektov, da bi matematične izjave postale objektivno resnične, potem smo prepuščeni dilemi: ali reči, da je matematika subjektivna, ali razložiti, kako sploh imamo znanje o nedostopnih neprostorsko-časovnih objektih.

Mislim, da sem samo posebej antiplatonistično in v celoti empirik Računi matematike lahko plodno odgovorijo na to epistemološko dilemo. V svoji vplivni knjigi Narava matematičnega znanja (1984) je filozof Philip Kitcher s posodobitvijo matematičnega empirizma Johna Stuarta Milla predlagal prav takšen prikaz. Za Kitcherja matematika ni sestavljena iz abstraktnih platonskih entitet, temveč iz posplošene človeške empirične operacije, ki se izvajajo na fizičnih objektih : kot je zbiranje, povezovanje ali ločevanje, na primer, kamenčkov. Na primer, matematična izjava 2 + 3 = 5 bi se po Kitcherju najprej nanašala na zbiralno operacijo, izvedeno na predmetih, imenovano 'izdelava dveh', nato na zbiralno operacijo 'izdelava treh' in nato na končno operacijo združevanja. 'narediti pet'. Iz teh primitivnih zaznavnih začetkov bi se nato razvila višja matematika, ki bi nam sčasoma omogočila zaznavanje empiričnih struktur sveta skozi matematiko. Kot trdi Kitcher, nam empiričnih operacij sploh ni treba več izvajati fizično; lahko jih preprosto izvajamo v svojih mislih. Kljub temu bi bilo miselnim operacijam, ki jih predstavljajo naši matematični zapisi, še vedno mogoče slediti do empiričnih, to je do fizičnih operacij.

Glede na ta empiristični račun bi se 'matematična resnica' v priljubljenem objektivnem pomenu ohranila. Matematične izjave bi bile resnične na podlagi objektivne resničnosti empiričnih operacij, na katere se matematične izjave končno nanašajo. Poleg tega so te operacije zelo umeščene v prostor in čas, s čimer se izognemo Benacerrafovim epistemološkim težavam. Matematičnega znanja ne bi imeli iz poznavanja abstraktnih predmetov, temveč iz poznavanja empiričnih operacij, na katerih matematika končno temelji.

Neskončna lekcija matematike

Pogosta kritika empirističnega računa je, da gre pri matematiki neizogibno za neskončnosti, kot so neskončne množice. Lahko bi se upravičeno spraševali, kako se je lahko matematika neskončnega kdaj razvila na podlagi empirističnega računa, saj omejeni ljudje ne morejo izvajati neskončnih empiričnih operacij na fizičnih objektih. Ena od možnih rešitev, ki jo predlaga Kitcher, bi bila, da na neskončna področja matematike gledamo kot na idealizirano neskončne empirične operacije. Predstavljati si moramo nekakšno idealen agent z neskončnimi sposobnostmi, ki nekako dokončajo neskončne empirične operacije in nam tako zagotovijo empirični prikaz neskončnosti. Za Kitcherja bi bila ta konceptualna naprava podobna uporabnim idealizacijam v fiziki, kot so idealni plini in površine brez trenja.

Nekateri so odgovorili, da so idealni agenti preveč podobni samim platonskim abstrakcijam, ki se jim poskušamo izogniti. Drugi so trdili, da se ni treba sklicevati na problematične idealizacije neskončnosti, če naš empirik priznava potencialna neskončnost samo, in ne an dejansko neskončnost (razločitev je prvi naredil Aristotel). Dejanska neskončnost je dokončana neskončna celota, kot je dokončana množica naravnih števil ali dokončane decimalne razširitve iracionalnih števil, kot je pi. Nasprotno pa je potencialna neskončnost neskončen, vedno nepopoln proces – na primer štetje naravnih števil ali računanje potencialno neskončnih decimalnih razširitev. Dejanske neskončnosti, če bi jih obravnavali kot empirične operacije, bi za njihovo dokončanje zahtevale idealne agente, ki jih je predlagal Kitcher. Toda empirik bi namesto tega lahko razlagal neskončnosti matematike kot vedno nepopolne – ki vključujejo samo potencialno neskončne operacije. Na primer, naš empirik bi si lahko pi predstavljal kot konceptualno neskončno empirično temelječo operacijo ali izračun, ki ustvarja potencialno neskončno, a nikoli dokončano decimalno razširitev. Čeprav bi bila naša generacija decimalne ekspanzije pi potencialno neskončna, bi vedno ostala končno kadar koli, zaradi človeških omejitev. Ta ideja se izogne ​​potrebi po idealnih agentih. Za našega empirika jih ni dejansko neskončnosti, niti kakršnih koli dejanskih neskončnih operacij, ki bi jih nekako 'dokončali' idealni agenti - obstajajo samo potencialne neskončnosti.

Kot nadaljnji primer se vrnimo k prej omenjenemu popolnemu Platonovemu krogu, ki je bil zasnovan kot mnogokotnik z neskončnimi stranicami. Tudi tega bi naš empirik lahko razlagal ne kot dejansko neskončnost, temveč zgolj kot potencialno neskončnost – kot konceptualno neskončno, vedno nepopolno empirično operacijo. V nasprotju s platonizmom torej za empirika ne obstajajo abstraktna in večna platonska števila, popolni krogi, trikotniki in podobno ne na zemlji ne v platonskih nebesih: obstajajo samo empirične operacije in nepopolni končni približki.

Ali je lahko matematična resnica pogojna?

Zadnji pomislek za matematični empirizem je, da če je matematiko res mogoče reducirati na opazljive operacije, potem je to resnica matematičnih izjav kontingent , saj so empirično izpeljane izjave večinoma pogojno resnične. Toda večini od nas se zdi, da je ravno nasprotno matematika nujno resnična, neodvisna od kakršnih koli naključij. Hitra empiristična replika bi bila, da samo zaradi matematike se zdi če je nujno res, to še ne pomeni, da je tako. Kot pri Johnu Stuartu Millu je lahko naš empirik z veseljem sprejel matematiko kot le pogojno resnično.

Res je, da empiristični prikazi matematike res otežijo razumevanje višje matematike in je zato za mnoge manj privlačna. Kljub temu empiristična poročila vsaj preprečijo nepotrebno napihnjenost naše metafizike, saj se izognejo potrebi po domnevi obstoja abstraktnih platonskih matematičnih objektov in področja, v katerem naj bi obstajali.

Rui Vieira je grafični oblikovalec, ki živi v Mississaugi v Ontariu.