Na točke

Raymond Tallis natančno določa ločnico matematika/resničnost.

Bralci te kolumne bodo dobili namig o mojih pogledih na omejitve zmožnosti matematike in fizike, da zajamejo žive izkušnje – zlasti v 'Čas, čas in fizika: teorija vsega razen ...' v številki 81. Tukaj, Osredotočiti se želim na nekaj popolnoma osrednjega za interpretacijo sveta, v katerem živimo v smislu matematike: na pojem točke – zlasti točke v prostoru. Točke, ki so v središču matematizacije prostora (in posledično prostora-časa), so dosegle ta višji status prek discipline geometrije. Ne morem verjeti, da sem za to plačan. Ljubim svoje delo!

Tisti med vami, ki se spomnite svojih zgodnjih srečanj z Evklidom, se lahko med spomini na strah, ponižanje, dolgočasje in druge spremljevalce pedagoške izkušnje spomnite, da Evklid začne z nizom definicij in aksiomov. Nekateri od njih se zdijo tako očitni, da ste se morda vprašali, Zakaj mi ta tip to govori? Ali sem res moral biti obveščen, da so 'stvari, ki so enake isti stvari, enake druga drugi' ali da je 'celota večja od katerega koli svojega dela'? Nehaš se spraševati, ko kot po čarovniji iz teh idej pričara vrsto izrekov, ki še zdaleč niso očitni. Še več, dva tisoč let so bili sprejeti kot zadnja beseda o vesolju. Postajam tako razočarana. Že tedne delam na tem projektu in nikakor ne morem napredovati. Vsakič, ko mislim, da nekam pridem, naletim na novo oviro. Počutim se, kot da tega projekta ne bom nikoli dokončal. Samo preveč je. Mogoče bi moral kar odnehati.

Evklidova prva definicija je točka: 'A točka je tisto, kar nima dela'. Ni ga mogoče razdeliti, ker je popolnoma brez raztezka: brez dolžine, površine ali volumna. Ne zaseda prostora. To enako velja za črto (ki je 'dolžina brez širine') in tudi za ravnino, ki se zdi, da oklepa prostor, vendar ga ne zapolnjuje, ker nima globine. Najbolj očitno pa velja za točko, ki je nič-dimenzionalna. To sprovocira naivnega spraševalca (kar bi morali biti vsi filozofi), da si zastavi (ostro) vprašanje: če točka ne zavzema prostora, kako jo lahko lociramo v prostor? Kako lahko prostorski nič označuje en košček prostora namesto drugega koščka prostora? Kako lahko rečemo, da je ena točka v prostoru tako ali tako oddaljena od druge? Zagotovo ima lahko nekaj določeno lokacijo v prostoru samo na podlagi zasedajo nekaj od tega. Moja računalniška miška ne bi mogla biti poleg mojega računalnika, če ne bi zasedla prostora poleg tistega, ki ga zaseda moj računalnik.



Označeno

Tega morda ne boste razumeli kot pravo vprašanje, če zamenjate matematične (geometrijske) točke z materialnimi sredstvi, ki jih uporabljamo za njihovo označevanje, ki niso brezrazsežne in tako zasedajo prostor, sicer jih ne bi mogli videti. Toda pike, kot so madeži črnila, s katerimi označujemo točke na strani, moramo razlikovati od stvari, ki jih označujejo. Označevanje s takšnim znakom je najbolj očiten način, kako si točka izposodi prostor od nečesa drugega, da se lahko nahaja v prostoru. (Črte in ravnine seveda delajo isto: tudi one so skvoterji; toda točke so najbolj gololični štoparji.) Oznaka, ki zaseda prostor, ima očitno prostorsko lokacijo, vendar ni evklidska geometrija točka, ker ima dele. Ima prostorsko razširitev. Lahko ga razpolovimo, tako da prerežemo z njim označen papir. Torej oznaka biro sama po sebi ni točka, ampak znak točke. Zato moramo pogledati malo bolj, da vidimo, kako lahko lociramo geometrijsko točko v prostoru.

Obstaja še en, globlji način prostorskega parazitizma, ki omogoča, da se zdi, da evklidske točke naseljujejo lokacije na svetu (in posledično, da se nahajajo na enem mestu in ne na drugem), ne da bi zasedle prostor. Mislim na uporabo matematičnih koordinat za označevanje točk. Tako se lahko sklicujem na točko, ki je pri x=2, y=3 in z=4, kjer so x, y in z tri osi, ki označujejo dimenzije gor-dol, od strani do strani in zadaj spredaj. Na ta način se zdi mogoče označiti točko v prostoru, ne da bi uporabili kar koli, kar zaseda prostor. Kartezične koordinate rešujejo Evklidove brezrazsežne entitete in jim omogočajo koristno delo. Konec problema.

Ne tako hitro. Evklidska točka je tu rehabilitirana v realni prostor le s pomočjo posrednika: koordinatnega sistema, katerega tri osi skupaj vzpostavljajo referenčni okvir. Toda to preprosto premakne vprašanje naprej. Ali referenčni okvir označuje prostornino? Zagotovo bi lahko rekli, da se označeni volumen nahaja v prostoru: realnem prostoru.

Ne tako. Običajno se tri osi nahajajo na strani kot elementi diagrama. Prostor, ki ga domnevno zapirajo, ni prostor, kjer se nahaja stran oziroma jaz, ki na njej pišem. Koordinata '2,3,4' v diagramu v knjigi, ki jo berem na železniški postaji Stockport, sama po sebi ni mesto v Stockportu, čeprav imam knjigo, v kateri je narisano, v moji roki na postaji Stockport. Posledično točka na strani ni točka v resničnem prostoru – tiste vrste prostora, skozi katerega hodimo vi in ​​jaz, v njem plešemo in ga telo zasedamo. Tako označena matematična točka še vedno ostaja znotraj miselnega prostora matematike.

Točke paradoksa

Morda se boste vprašali, kaj ima to opraviti s filozofijo? No, vse je povezano z reševanjem preživetega prostora (in preživetega časa) iz redukcije na matematiko in matematizirano fiziko. Da bi to videli, si oglejmo nekaj bolj znanega: tiste slavne paradokse, ki so angažirali filozofe, odkar jih je Zeno prvič predstavil, da bi podprli trditev svojega učitelja Parmenida, da je gibanje logično nemogoče in zato iluzorno.

Vzemimo Zenonov paradoks dihotomije. Tečem za avtobusom. Dobrosrčni voznik je pokazal, da bo počakal, dokler ne pridem. Njegova prijaznost je slabo poplačana oziroma bo, če tako kot Zeno mislite, da moram najprej preteči polovico razdalje, da bi premagal razdaljo med seboj in avtobusom; in da moram premagati polovico razdalje, preteči polovico polovice ali četrtino razdalje; da bi to pokrili ... no, lahko vidite, kako gre. Glede na to, da lahko proces razpolovitve (ali 'dihotomizacije') traja večno, se zdi, da bi moral opraviti neskončno število nalog, da bi se premaknil. Nikoli ne bom prišel do avtobusa.

Nekaj ​​je očitno šlo narobe. Navsezadnje ponavadi ujamem avtobuse, ki me čakajo, pa tudi kakšna razlaga mora biti, kako sem prišel do mesta, kjer sem začel hiteti za avtobusom.

Najpogostejši način obravnavanja tega paradoksa je nakazovanje, da je Zeno naredil a matematični napaka: ni opazil, da ko so razdalje, ki jih je treba premagati, razdeljene na manjše dele, se čas, potreben za njihovo premagovanje, sorazmerno zmanjša. Posledično, čeprav je število časovnih delov, na katere je mogoče razdeliti mojo dirko za avtobusom, neskončno, ti pripadajo konvergenčnim serijam, ki se seštejejo v končno količino. Če na primer dodate 1/2 sekunde do 1/4 sekunde do 1/8 sekunde itd., se postopoma zmanjšate za 1 sekundo, čeprav je vključenih korakov neskončno.

Ta pristop, čeprav velja, kolikor gre, zgreši Zenonovo temeljno napako, ta pa je napaka, ki je še vedno živa in brca. Leži v središču zmotne predstave, da je matematična resnica sveta the resnica, pika; tako da je na primer prostor matematična entiteta – geometrijski medij, katerega sestavine so tiste nič-dimenzionalne točke, enodimenzionalne črte in dvodimenzionalne ploskve, s katerimi se je igral Evklid. Zenonova napaka je, da si predstavlja, da matematični opis gibanja (ali karkoli drugega) prevlada nad izkušeno ali preživeto resničnostjo tega.

To napako lahko osvetlimo drugače. Zeno v bistvu trdi, da vsako potovanje zahteva, da se premikamo skozi neskončno število neskončno majhnih točk. Nihče, ki bi s končno hitrostjo podrl te točke, torej ne bi mogel izvesti kakršnega koli gibanja. V resnici daleč od tega, da bi se morali premikati od točke do točke, nismo mogli narediti tako majhnih korakov. Veliko preden dosežemo konec procesa razpolovitve, pridemo do tako majhnih korakov gibanja, da jih ne moremo izvesti ločeno. Nadalje, tudi če bi bilo mogoče iti skozi vsako točko posebej, glede na to, da je vsaka točka nepodaljšani , prehod ne bi predstavljal gibanja. Poskus ustvarjanja resničnega gibanja s premikanjem 'skozi' točke brez raztezkov je nemogoč.

Lahko bi rekli takole: ko hodim, hodim skozi živel , ne matematični prostor, delanje korakov, ne ulomkov (1/2, 1/4, 1/8 koraka itd.). To nematematičnost dokazuje dejstvo, da bi lahko moje potovanje matematično opisali na neskončno veliko načinov - na primer z zaporednimi 'trihotomizacijami' (delitev na tretjine). Če bi bilo potovanje enako matematičnemu opisu, bi se zdelo, da počnem dve nezdružljivi stvari hkrati. Zeno nam torej pravi, da matematika ne dokazuje, da gibanje skozi končni prostor v končnem času ni mogoče, ampak da matematika ne zajame gibanja , saj matematični opis prostora ni zgodba o preživetem prostoru in naših potovanjih skozenj.

Določanje presledkov

Razlikovanje med matematičnimi točkami in kraji v prostoru, v katerem živimo – matematična točka v prostoru ni mesto v prostoru – kaže temeljni razkol med prostorom matematike in prostorom živega človeka. Vrzel je prikrita, ko uporabljamo znake, ki zasedajo prostor, kot so biro oznake, da predstavijo točke ali jih zajamemo v vrednosti, ustvarjene v referenčnem okviru. Razen v kolikor se uporablja za abstraktne matematične demonstracije, je sam referenčni okvir treba vzpostaviti nematematično – kot takrat, ko kot referenčni okvir uporabljam svojo življenjsko okolico. Z drugimi besedami, x=2, y=3 in z=4 ne generirajo točke v realnem prostoru, razen če sem postavil osi na mesto, ki ni definirano matematično.

Zenonovi paradoksi so rezultat preveč dobesednega jemanja matematike kot dejanskega materiala sveta (kot da bi hodili po delčkih in ne korakih) ali jemanja prostora, v katerem živimo, se gibljemo in imamo, da je sestavljen iz točk, ki nekako uspe imeti prostorske lokacije, ne da bi dejansko zasedel prostor. Izpostavljanje razdalje med matematičnimi točkami in realnimi prostorskimi lokacijami je način, da se spomnimo na razdaljo med matematiko in svetom.

Zmeda glede narave točk ni stvar preteklosti. Fiziki so nekoč mislili, da je prostor 'evklidski', zdaj pa mislijo, da je 'neevklidski'. Kozmologi nam iskreno zagotavljajo, da se je vesolje začelo in se bo končalo kot 'singularnost' - brezrazsežna (tj. matematična) točka neskončne gostote. To se zgodi, ko vzamete matematične točke za fizične entitete, ki se nahajajo na svetu; in ko matematične entitete in pojme zmedeno jemljete kot konstitutivne za svet.

O tem bi se dalo še marsikaj povedati. Pazi na ta prostor.

Raymond Tallis je zdravnik, filozof, pesnik in romanopisec. Njegova zadnja knjiga Opičja človeštvo: nevromanija, darwinitis in napačna predstavitev človeštva je zdaj zunaj.