Kaj je filozofija matematike?

Stephen Ferguson sprašuje, ali so matematični objekti resnični.

Ukvarjam se s filozofijo matematike – pravzaprav ravno končujem svojo doktorsko disertacijo. Ko srečam ljudi in vprašajo, kaj počnem, so vedno videti začudeni nad mojim odgovorom. Tipični odgovori vključujejo presenečenje, da ima matematika svojo filozofijo, popolno zmedenost ali pa sklepajo, da se moram ukvarjati z neko obliko ezoterične matematike, in priznajo, da jim matematika nikoli ni mogla priti do glave, ko so bili v šoli. Situacija je običajno nekoliko boljša, ko srečam druge filozofe – vedo, da je to povezano z Bertrandom Russellom; včasih bodo omenili Wittgensteina ali celo Fregeja ali Gödela. Toda zdi se, da nihče nikoli ne zna pokazati, kaj počnem. Ne morem verjeti, da to dejansko počnem. Zdi se tako nadrealistično. Tako trdo sem delal, da sem prišel do te točke in zdaj se je končno zgodilo. Kmalu bom stopil na oder in nastopil pred vsemi temi ljudmi. Med čakanjem v zakulisju čutim, kako mi v trebuhu švigajo metuljčki. Živci so zdaj res začeli delovati. Vem, da se moram osredotočiti in samo dihati. Jaz zmorem to. Glasba začne igrati in moj znak je, da grem ven na oder. Takoj ko stopim ven, me luči zaslepijo. Ampak ne dovolim, da bi me to motilo. Hodim samozavestno in z nasmehom na obrazu, pripravljen na nastop svojega življenja.

Na kratko, filozofija matematike se ukvarja s posebnimi problemi, ki izhajajo iz našega posedovanja matematičnega znanja. Zato je veja epistemologije, študija o tem, kako vemo stvari, tako kot sta filozofija znanosti in filozofija percepcije. Za razliko od drugih oblik znanja, kjer se učimo z izkušnjami, se zdi, da se matematično znanje ukvarja zgolj s področjem misli. Poleg specifičnih vprašanj o matematiki se razprava nanaša tudi na to, kako se matematično znanje prilega širši shemi stvari in na splošnejše prikaze naših kognitivnih zmožnosti. Ne morem verjeti, da to dejansko počnem. Zdi se tako nadrealistično. Že dolgo sem si želel to narediti in zdaj, ko to končno počnem, se mi zdi kot sanje. Tako sem živčna, a tudi tako navdušena. To bo neverjetno.

Resnica na splošno velja za stvar korespondence med našimi mislimi in jezikom na eni strani ter realnostjo na drugi. Ker so matematične izjave (upajmo) resnične, to nakazuje, da morajo predmeti, omenjeni v teh izjavah – števila, množice, funkcije itd. – obstajati. V zadnjih dvajsetih letih sta dve vprašanji, ki ju na splošno pripisujemo ameriškemu filozofu Paulu Benacerrafu, postali najpomembnejši. To so:



1) glede na to, da matematični objekti nimajo vzrokov ali posledic, kako se lahko sklicujemo nanje?

2) glede na to, da matematični objekti nimajo vzrokov ali posledic, kako sploh vemo o njih?

Te so bile imenovane Benacerrafove dvojne uganke referenčnega in epistemičnega dostopa. Kot si lahko predstavljate, je bilo veliko razprav o različnih načinih razlage teh ugank.

V nadaljevanju bi rad orisal nekaj glavnih odgovorov na te uganke, da bi prenesel nekaj občutka za filozofijo matematike, nakar bi rad orisal tudi stališče, ki ga sam zagovarjam.

I. Matematični realizem

Obstajajo tri, ne povsem ločene, glavne linije odgovora na te uganke, ki se običajno sprejmejo glede na to, ali filozof misli, da res obstajajo števila, na enak način kot obstajajo mize, stoli in vrčki za pivo – tako se imenuje a realist oz platonist odgovor. Druga možnost je, da zanikajo, da številke res obstajajo, in razlagajo našo očitno predanost njim kot priročno fikcijo, pri čemer trdijo, da pri matematiki ne gre za neko abstraktno kraljestvo matematičnih predmetov, temveč za določene koncepte, ki jih uporabljamo: temu bi lahko rekli antirealist strategijo. Tretjič, obstajajo tisti, ki trdijo, da je osredotočanje na posamezne predmete – kot so naravna števila ali množice – vzrok za težave; namesto tega bi se morali ukvarjati z matematičnimi strukturami. Tipično strukturalistov zagovarjajo tudi neko obliko realizma glede struktur, vendar to ni vedno tako.

Obstajajo trije glavni argumenti za matematični realizem. Prvi, ki ga je predstavil nemški matematik Gottlob Frege (1848-1925), se opira na realnost jezika. Trdil je, da se tam, kjer je naš jezik resnično povezan s svetom, izrazi v ednini (ki jih je imenoval lastna imena) nanašajo na predmete ali jih predstavljajo. Torej se pravilno ime 'stol' nanaša na dejanski predmet. Predlagal je, da resnične izjave, kot so tiste o numerični identiteti (npr. 2+2=4), zagotavljajo potreben kontekst za sklepanje, da se tudi številke nanašajo na predmete, tj. da so števila predmeti. To se včasih imenuje jezikovni ali semantični realizem zaradi poudarka jezika v tem poročilu.

Drugi argument je posledica Kurta Gödela, logika, ki je imel pisarno poleg Einsteina na Inštitutu za napredne študije v Princetonu. Gödel je trdil, da so matematiki sposobni zaznati matematične predmete z uporabo posebne sposobnosti intuicije. To je pravi platonizem (z velikim 'p'), ker je, tako kot pri Platonovi teoriji o oblikah, postulirano abstraktno kraljestvo, pa tudi sredstvo za seznanitev s tem kraljestvom.

Tretjič, Hilary Putnam – ena najvplivnejših ameriških filozofov danes – je predstavila argument, ki temelji na Quinovih argumentih za epistemološki holizem. Quine trdi, da je naše znanje enota in da ni mogoče izolirati enega vidika našega znanja od vseh drugih. Putnamov argument se glasi takole – če svoje znanstvene teorije jemljemo resno, smo zavezani k temu, da verjamemo v entitete, ki jih postavljajo te teorije, tudi če njihovega obstoja ni mogoče eksperimentalno preveriti. Vendar, če je naše znanje res celostno, kot trdi Quine, potem teoretične entitete niso edini predmeti, ki se jim zavežemo s sprejetjem teorije: ker je matematika vključena v izražanje fizikalne teorije, smo tudi zavezani k sprejemanju obstoja matematičnih objektov. To je argument nepogrešljivosti – tako imenovan, ker je matematika v znanosti nepogrešljiva.

II. Antirealizem o matematiki

Platonizmu tradicionalno nasprotujeta dve stališči: Intuicionizem in Formalizem . Pred kratkim so se artikulirala tudi različna nova antirealistična stališča Kvazirealizem in nerealizma . Več jih bo kasneje.

Nizozemski matematik Jan Brouwer (1881-1966) je kot alternativo platonizmu prvič predlagal intuicionizem kot filozofski prikaz matematike. Po njegovem mnenju pri matematiki ne gre za abstraktno področje od uma neodvisnih predmetov, temveč za ustvarjanje matematičnih objektov s strani človeškega uma. Namesto izjave o tem, ali je resnična ali napačna neka že obstoječa matematična resničnost, je trdil, da to realnost ustvarjamo sproti. Matematične izjave so resnične ali napačne, ko se ukvarjajo z že ustvarjenimi predmeti, niso pa niti resnične niti napačne, ko utirajo nova tla. Če ima Brouwer prav, je torej treba zavrniti tisto, kar logiki imenujejo zakon izključene sredine – da je za vsako trditev bodisi ta bodisi njena negacija resnična. Ker pa dokazi o določenih rezultatih v 'klasični' matematiki v bistvu temeljijo na uporabi tega zakona, moramo zanikanje tega zakona ponovno premisliti o tem.

V zadnjih 30 letih je Michael Dummett, nekoč profesor logike na Oxfordu, zagovarjal intuicionizem tako, da je napadel Fregejeve semantične argumente za realizem. Na podlagi zakona izključene sredine se klasična matematika zavzema za obstoj izjav, ki so resnične, a za katere ne moremo dokazati, da so resnične; ti so znani kot dokazne transcendentne resnice. Dober primer je Goldbachova domneva, da je vsako sodo število vsota dveh praštevil. Večina matematikov je razumno prepričana, da je to res, a ker bi dokazovanje vključevalo iskanje prakomponent neskončnega števila sodih števil, takega dokaza nikoli ne bi bilo mogoče dokončati. Dummettovi argumenti zadevajo, kako se učimo matematike; nekdo nas mora naučiti, poleg tega pa moramo biti sposobni pokazati, da smo razumeli, kar so nas učili. Trdi, da če poznavanje pomena izjave pomeni vedeti, kaj izrazi v njej pomenijo, kot je trdil Frege, potem se nikoli ne bi mogli naučiti pomena transcendentnih izjav, saj nam nihče ne bi mogel pokazati njihove resnice. . To je postalo znano kot semantični antirealizem in tako kot intuicionizem, ki ga je navdihnil, bo, če je pravilno, vključevalo zavrnitev zakona izključene sredine.

Tako kot intuicionizem tudi formalizem nasprotuje realističnemu pojmovanju resnice, ki podpira platonizem. Običajna razlaga formalizma je, da obravnava matematiko kot izmišljeno ali kot igro; toda to bi bila napačna interpretacija vsaj enega formalista – najbolj znanega med vsemi: Davida Hilberta (1862-1943). Njegove poskuse, da bi zmanjšal metafizične skrbi glede resnice, bi lahko izrazili v sodobnih terminih z besedami, da ni resnice nič več, kot je vključeno v načelo korespondence, ki je tako šibko, da je floskula:

'P' je resničen, če in samo če je P

Novejši napadi na realizem so prišli v obliki kvazirealizma in irrealizma. Kvazirealizem je izraz, ki ga je skoval Simon Blackburn v povezavi z razpravami o filozofiji jezika in etiki. Predlaga, da v nekaterih diskurzih, čeprav ima površinska slovnica določeno obliko, napačno predstavlja temeljno logično strukturo sintakse. To nam omogoča, da nadaljujemo z našimi različnimi jezikovnimi praksami, ne da bi bili obremenjeni z obremenjujočimi filozofskimi zavezami – na primer glede obstoja nefizičnih predmetov. Geoff Hellman je uporabil to strategijo, da bi nakazal, da matematične izjave niso enostavne indikativne trditve, temveč da so konjunktivne trditve o posledicah bi biti če tam bili predmeti, kot so števila ali množice.

Kvazirealisti priznavajo, da so matematične izjave resnične, vendar zanikajo, da obstajajo številke, množice ali funkcije, ki ustrezajo imenom, ki se pojavljajo v površinski slovnici. Po drugi strani pa irealisti, kot je Hartry Field, trdijo, da je treba matematični jezik jemati resno, toda ker ni predmetov, kot so navedeni v izjavah matematičnih teorij, morajo biti te izjave napačne. Field svojo nalogo jemlje kot dvojno: pokazati, da je tisto, za kar meni, da je glavni argument za matematični realizem – argument nepogrešljivosti – zgrešen, in pokazati, da so matematične izjave kljub temu, da so napačne, vseeno lahko uporabne. Uporabnost matematike pojasnjuje z dokazovanjem, da vsa matematika zadošča določenemu načelu normativnosti, ki ga imenuje konzervativnost; Vnos resničnih informacij v matematični stroj bo povzročil izhod, ki je prav tako resničen. Trdi, da to načelo konzervativnosti kaže, da je matematika navsezadnje le priročna bližnjica in da je znanost mogoče izvajati brez izrecne omembe matematike.

III. Strukturalizem

Za razliko od večine matematike, ki jo preučujejo profesionalni matematiki, površinska slovnica aritmetične prakse nakazuje, da so na kocki določeni predmeti. Toda ko gre za elemente, ki jih preučujejo delujoči matematiki, niso predmeti, ampak strukture, ki so najpomembnejše. Ena tipična matematična struktura je skupina : glede na množico g in binarno operacijo +, ⟨g, +⟩ je skupina, če velja naslednje:

(G-i) zaprtje – za kateri koli a, b v množici obstaja nekaj c v množici, tako da je a+b=c;

(G-ii) identiteta – obstaja element e, tako da za vsak element a velja a+e=e+a=a;

(G-iii) inverzi – vsak element a ima drug element, b, ki je povezan z njim, tako da je a+b=b+a=e. To je obratno od a, zapisano a-1;

(G-iv) asociativnost – za poljubne a, b, c v množici (a+b)+c=a+(b+c).

Namesto da bi mislili, da ima kateri koli posamezen objekt v strukturi pomembno matematično vlogo, je ključni vpogled pri obravnavanju struktur ta, da je celotna struktura matematično pomembna: noben njen del ne more delovati ločeno. Morda je najboljši način za razumevanje matematičnega koncepta strukture upoštevanje fizičnih struktur. Stewart Shapiro v svoji prihajajoči knjigi opisuje strukture kot podobne športnim ekipam. Vzemimo tipično nogometno moštvo: tam so vratar, igralci v centralni obrambi, v sredini in napadalci spredaj. Nekatere ekipe lahko igrajo s tremi napadalci, druge z dvema: ti imajo potem drugačno strukturo.

Zdaj razmislite o težavah, s katerimi se sooča platonizem: tako kot številke tudi položaji v nogometnem moštvu niso fizične stvari, kako torej vemo o njih? Očiten odgovor je, da spoznamo, kakšno vlogo igra vratar, tako da opazujemo več primerov vratarjev in abstrahiramo, kaj je skupno vsem. Nekaj ​​bi pogrešali, če bi mislili, da imajo vsi vratarji rjave lase: pomembna je vloga, ki jo igrajo znotraj strukture – znotraj ekipe. Strukturalist trdi, da če vso matematiko obravnavamo strukturno (ne le očitne algebraične strukture, kot so skupine, ampak tudi področja, kot je aritmetika), potem ta perspektiva ponuja preproste rešitve za različne filozofske skrbi, kot je Benacerrafova uganka dvojčka.

Matematike se učimo z odkrivanjem vzorcev – s tako imenovanim prepoznavanjem vzorcev. Pravzaprav Resnik trdi, da bi bilo bolje, če bi na splošno govorili o vzorcih kot o strukturah, vendar so razlike zgolj terminološke. Oba, Resnik in Shapiro, dva izmed najvplivnejših strukturalistov, sta trdila, da matematično znanje pride tako, da najprej izkusimo različne 'konkretne' ali fizične vzorce in nato abstrahiramo na osnovno strukturo.

Na kratko sem že omenil modalni strukturalizem Geoffa Hellmana kot primer kvazirealistične strategije; Tako kot Shapiro in Resnik meni, da filozofski problemi s platonizmom izvirajo iz njegove osredotočenosti na matematične objekte, in predlaga, da bi strukturno zasnovani račun to odpravil. Za razliko od Shapira in Resnika pa svojega strukturalizma ne utemeljuje na prepoznavanju vzorcev, ampak na misli, da strukture opisujejo možno kombinacijo predmetov, in tako jemlje izjave matematike, ki se ukvarjajo z našim razumevanjem tega, kaj je mogoče in kaj je potrebno.

Strukturalizem je privlačen, ker ponuja prikaz vsebine večine sodobne matematike – za razliko od platonizma, ki se osredotoča skoraj izključno na matematiko, ki jo pozna človek na ulici. Vendar pa je treba podrobneje razmisliti o natančni obliki strukturalističnih argumentov. Najprej je tu ta očitna želja po upoštevanju matematične prakse. Drugič, trditev, da je 'vsa matematika strukturna', je narejena iz strateških in ne iz filozofskih razlogov. S tem mislim, da daje strukturalistu določene prednosti. Na primer, brez te trditve bi strukturalistove teorije veljale le za očitno strukturna področja matematike, kot je zgoraj omenjena teorija skupin. Da bi bil strukturalizem alternativa platonizmu, mora strukturalist pokazati, da ta pogled velja tudi za običajno matematiko, torej za aritmetiko.

Običajen način za to je pokazati ustreznost strukturnega pogleda na število. Namesto da bi mislili o naravnih številih kot o zbirki posameznih predmetov, jih je mogoče zamisliti kot strukturo, pri čemer je vsak element strukture naslednik drugega elementa strukture. O nobenem od teh elementov ni mogoče reči ničesar, razen o odnosu, ki ga ima z drugimi. Tisto, kar razlikuje takšne strukture od tistih v algebri, je, da je osnovni vzorec naravnih števil kategoričen – za katero koli kardinalnost so vsi modeli strukture enaki. V algebraičnem primeru, tako kot pri nogometnih ekipah, lahko obstajajo različni modeli strukture, ki kažejo razlike, podobne razlikam med eno ekipo s tremi napadalci in drugo, ki ima samo dva.

IV. Skromen strukturalizem

Nikoli nisem bil prepričan, da ima strukturalist prav glede aritmetike – vedno sem mislil, da so intuitivne razlike med sistemi, kot so naravna števila, realna in kompleksna števila, na eni strani in strukturami, kot je npr. skupin, je bilo več kot le vprašanje števila modelov teorije.

Mislim, da ima strukturalist v bistvu prav glede abstraktne algebre – kar me je pripeljalo do tega, da sem poskušal ustvariti prikaz, ki ohranja vso intuitivno privlačnost Fregejevega platonističnega prikaza običajne matematike, skupaj s strukturalistovim prikazom profesionalne matematike. Spomnimo se, da je Frege ponudil lingvistične argumente za svojo zasnovo števil kot predmetov: ponuditi dvojni račun, kot sem ga pravkar predlagal, pomeni navesti razloge, ki temeljijo na značilnostih matematičnega jezika, da bi predlagali, zakaj se lahko strukture in sistemi razlikujejo.

Poleg upoštevanja aritmetike je Frege pisal tudi o lastnostih navadnega jezika. Trdil je, da je mogoče v večini stavkov izraze, ki pomenijo isti predmet, zamenjati, ne da bi spremenili resničnostno vrednost stavka. Na primer, če je res, da:

(A) Lois Lane ljubi Clarka Kenta

potem je tudi res, da:

(B) Lois Lane ljubi Supermana.

Vendar se v določenih okoliščinah to pokvari. Vsi vemo, da Lois dolgo časa ni vedela za Supermanovo skrivno identiteto, zato je napačno reči, da:

(C) Lois Lane verjame, da je Superman Clark Kent

ampak res je, da rečem:

(D) Lois Lane verjame, da je Superman Superman.

Frege je ugotovil, da v neindikativnih izjavah lastna imena dejansko ne pomenijo predmetov, na katere se običajno nanašajo, temveč se namesto tega lastna imena nanašajo na način, na katerega običajno ugotovimo, kaj je referenca, to je, kar je imenoval smisel ime.

Tako kot izjave o prepričanju tudi izjave o modalnosti povzročajo težave pri sklicevanju. Spomnimo se, da je Hellman trdil, da se strukture ukvarjajo z možnimi kombinacijami predmetov; to nakazuje, da matematične izjave niso enostavne indikativne trditve, temveč da so konjunktivne trditve o posledicah, če bi obstajali takšni predmeti, kot so števila ali množice.

Ta dva pristopa je mogoče združiti: trdim, da so aritmetične izjave indikativne propozicije, zato se lastna imena, ki jih vsebujejo, bistveno nanašajo na predmete: torej so števila predmeti. Toda izjave strukturne matematike niso indikativne – so konjunktivne izjave o posledicah, če bi bili predmeti urejeni na tak in tak način, in se zato ne nanašajo na enak način kot aritmetične izjave.

V. Sklepi

Poskušal sem posredovati nekaj glavnih vprašanj v filozofiji matematike in upam, da mi je uspelo narediti dostopno in zanimivo. Skoraj vse v spodnji bibliografiji je berljivo, čeprav se razlikuje po tehničnih težavah; na primer, Shapirova prva knjiga je polna logičnih podrobnosti, medtem ko njegova druga knjiga praktično ne vsebuje nobene zapletene logike.

Namignil sem, da se filozofija matematike ukvarja s tem, ali res obstajajo števila, množice in funkcije. Različna stališča, kot so platonizem, intuicionizem in formalizem, ponujajo različne načine reševanja teh vprašanj; strukturalizem pa ponuja radikalno drugačen pristop, ki ponuja nov pogled na razprave.

Namesto da sprejmem strukturalistični slogan 'Vsa matematika je strukturna', raje razmišljam, da obstajajo strukturna in nestrukturna področja matematike, in dajem ločena, čeprav ne neodvisna prikaza vsakega področja, ki temelji na razlikah v kontekstu izjav o ti diskurzi.

Bibliografija
Benacerraf, P (1965) »Kakšna števila ne morejo biti«, Philosophical Review 74, str. 47-73; (1973) 'Matematična resnica', Journal of Philosophy 70, str. 661-80 - Putnam, H (1983) Filozofija matematike: Izbrano branje 2 izdaja Cambridge University Press

Blackburn, S (1984) Širjenje besede . Oxford: Clarendon Press

Brouwer, J (1949) 'Zavest, filozofija in matematika', v Benacerraf & Putnam (1983), str. 90-6

Dummett, M ​​(1973) 'Filozofska osnova intuicionistične logike', v Benacerraf & Putnam (1983), str. 97-130

Field, H (1980) Znanost brez številk . Oxford: Blackwell

Frege, G (1879) Osnove aritmetike ; prev. Austin (1950) podnapisi - zvlecite podnapise kot osnove aritmetike . Oxford: Blackwell; (1893) Osnovni zakoni aritmetike . Vol I, Olms: Hildesheim

Gödel, K (1947) 'Kaj je Cantorjev problem kontinuuma?', Ameriški matematični mesečnik 54, str. 515-25, ponatisnjeno v Benacerraf & Putnam (1983), str. 470-86

Hellman, G (1989) Matematika brez števila . Oxford; Clarendon Press

Putnam, H (1971) Filozofija logike . New York: Harper

Resnik, M (1981) Matematika kot veda o vzorcih: ontologija in referenca, Nous 15, str. 529-49; (1982), 'Matematika kot veda o vzorcih - epistemologija', Nous 16, str. 95-105

Shapiro, S (1991) Temelji brez fundamentalizma . Oxford Logic Guides 17, Oxford University Press; (prihodnji) Filozofija matematike: struktura in ontologija . Oxford University Press

Wright, C (1983) Fregejev pojmovanje števil kot objektov . Scots Philosophical Monographs, Aberdeen University Press

Stephen Ferguson je doktorski študent na Univerzi St Andrews